Elever övar på att kommunicera hur de har löst matematiska problem

Tanken bakom projektet Undervisning av matematisk kommunikation, var att eleverna blir bättre på att tänka matematiskt när de lär sig att skriftligt förklara med ord hur de löst ett matematiskt problem. Det är något de har nytta av när de lär sig mer matematik. Projektet finansierades av Skolforskningsinstitutet och leddes av Ola Helenius, professor i ämnesdidaktik med inriktning matematik, på Institutionen för didaktik och pedagogisk profession vid Göteborgs universitet. I projektet deltog sex grundskolor och två gymnasieskolor.

Separera beskrivningen från själva lösningen av problemet

För att kunna utveckla elevernas förmåga att skriftligt beskriva och presentera sina lösningar på problem separerade forskarna beskrivningen av lösningen från själva lösningen av problemet. Det är vanligt att eleverna blandar ihop de två processerna, att lösa problemet och att berätta om lösningen. I projektet har forskarna utvecklat en undervisningsmodell som går ut på att eleverna först löser ett problem. Det kan gå till på lite olika sätt, beroende på hur eleverna brukar jobba med problemlösning. När de börjar bli färdiga så diskuteras problemet i helklass. Eleverna får berätta om sina olika lösningar, och diskussionen kan exempelvis handla om vilken lösning som är mest effektiv. Efter diskussionen får eleverna skriva ner hur problemet har lösts. Det som är annorlunda här är att de inte behöver skriva om den strategi de själva använde först. De kan lika gärna ta någon annans lösning som de tycker verkar bra. Det här gör att även elever som inte är så bra på att lösa problemen kan få öva på att skapa bra skriftliga beskrivningar av lösningar berättar Ola Helenius:
– På det här viset kan fler elever delta i diskussionerna. Annars kanske de elever som är sämst på att lösa problem aldrig får träna på den här kommunikationen. En lösning kan dessutom i princip vara bra även om eleven räknat fel. Det som redovisas i det här läget är hur problemet kan lösas, inte vad eleven gjort. Läraren samlar sedan in elevernas skriftliga redovisningar från lektionen och väljer ut några som diskuteras på nästa lektion. Nästa gång diskuterar klassen dock endast hur eleverna kommunicerat sina lösningar – inte vilken strategi de använde. Eleverna får syn på vad som är otydligt och föreslår sätt att beskriva lösningen tydligare.

Eleverna lär sig presentera problemlösningar på ett tydligt sätt

I texten som ska beskriva den redan gjorda problemlösningen ska eleverna visa att problemlösningen är korrekt, och varför lösningen stämmer. De ska alltså ge tydliga och matematiskt förankrade argument, och presentera relevanta illustrationer om det behövs. Eleverna tränas också att skriva till andra elever, inte att förklara för läraren. På det sättet lär de sig att inte förutsätta kunskaper hos läsaren, utan lär sig att bedöma vad som behöver förklaras och vad som kanske kan tas för givet. När eleverna brottas med att förstå andra elevers skriftliga beskrivningar av problemlösningen, utvecklas de i sitt eget skrivande förklarar Ola Helenius:
– I diskussionerna brukar eleverna säga sådant som ”det borde stå vad bilden föreställer”. De kan enkelt se på andras lösningar att ”oj, jag förstår inte hur de menar att de har tänkt och gjort”.

Innan eleverna fått övning i att skriva beskrivningar av sina lösningar är det vanligt att det saknas sekvensering eller ordning på det som är nedtecknat. Det är svårt att se vad i det som eleverna skriver som är premisserna, och vad som är slutsatser. När läraren och eleverna över tid arbetar med det här, oftast varannan vecka under ett helt läsår, arbetar de tillsammans fram en lista med tumregler för vad som är viktigt att få med när de skriftligt beskriver hur ett problem är löst, fortsätter Ola:
– När det är svårt att se vad som är vad i en problemlösning får eleverna föreslå hur vi ska ändra på det på ett bra sätt. I projektet prövas elevernas egna idéer, och det kan vara allt möjligt, från att numrera för att ge läsordning till serierutor och färgkodning.

Visa eleverna att det här är viktig kunskap

I början av projektet jobbade forskarna med 1–2 lärare i taget. Lärarna höll två lektioner som hängde ihop varannan vecka där den första hade fokus på lösningen av problemet och produktion av en skriftlig beskrivning, och den andra hade fokus på att diskutera de skriftliga beskrivningarnas kvalitet. Mellan lektionstillfällena träffades forskarna och lärarna berättar Ola Helenius:
– Vi diskuterade den kommunikativa kvaliteten i det som eleverna hade producerat tillsammans. Eftersom eleverna förbättrades snabbt i början, pratade vi om hur svårighetsgraden kan ökas senare i processen. Dessutom diskuterade vi sådant som graden av formalitet, och senare i processen också effektivitet, det vill säga att det är viktigt att kunna beskriva vad som är centralt i lösningen utan att för den skull skriva för mycket så att det tar för mycket tid eller blir svårläst.

Ola berättar att när projektet startar i en viss klass är det vanligt att eleverna tycker att uppgiften är klar när matematikproblemet är löst. Det finns ofta ett inledande motstånd mot att jobba vidare med den skriftliga kommunikationen. Men vanligtvis ger eleverna upp sitt motstånd mot att också skriftligt förklara hur de tänkt vartefter, när de märkt hur stor skillnad deras beskrivningar gör. Ola vill därför gärna poängtera:
– Om eleverna ska tycka att något är viktigt behöver lärarna ägna tid åt det.

Väl använd tid enligt lärarna

Metoden bygger på att läraren vet vilka lösningar som fungerar bättre eller sämre, och känner igen de intressanta kommunikativa brister och dilemman som uppkommer i elevernas beskrivningar. Genom att forskarna och lärarna tillsammans diskuterar elevernas beskrivningar, och lärarna sedan använder det här i diskussionen med eleverna, blir lärarna allt bättre på att förstå vad som skapar kvalitet i den skriftliga kommunikationen. Den kunskapen överförs sedan till eleverna, säger Ola:
– Eleverna blir snabbt bättre på att kommunicera hur de har gjort, särskilt i början. Det gör dem motiverade, att de upplever att de har lärt sig något. Den här undervisningsutvecklingen är ett av projektets viktigaste bidrag, att det är lätt att få eleverna att skriva bättre förklaringar med en väl uttänkt modell. Lärarna menade att de här lektionerna var väl använd tid, antagligen för att det svarade mot ett existerande behov, fortsätter Ola:
– Det här projektet initierades för att en av de deltagande forskarna i sin forskning hade sett att det fanns en uppenbar vilja från lärarnas sida att få eleverna att skriva tydligare beskrivningar av sina lösningar, men ingen känd undervisningsmodell att använda för att lära eleverna hur de ska göra. Principen att separera elevernas matematiska resonemang från hur de resonemangen kunde beskrivas skriftligt blev grunden för vår undervisningsmodell.

Från början var det tänkt att projektet skulle arbeta i årskurserna 6–9, men det blev så att även ytterligare årskurser i mellanstadiet och klasser från gymnasiet var med berättar Ola:
– Det visade sig att undervisningsmodellen fungerade från årskurs fyra ändå till gymnasiet, utan att behöva modifieras särskilt mycket.

I två kommuner har projektet har skalats upp genom att de lärare som först har handletts av forskare sedan har handlett andra lärare, något som Ola tycker är viktigt:
– Om en undervisningsmodell inte är skalningsbar, till exempel via kollegial handledning, då är den inte heller särskilt användbar för skolsystemet.

Svårt att mäta resultaten på ett vetenskapligt sätt

Lärarna vittnar om att metoden från forskningsprojektet fungerar bra, och att de tydligt kan se att eleverna förbättrar sin förmåga att med ord beskriva hur de har löst ett matematikproblem. Men ur forskningssynpunkt är det svårare att visa förklarar Ola Helenius:
– Det är svårt att mäta resultaten vetenskapligt. Hur ska vi identifiera och klassificera sådant som bilder och skisser? Det är också svårt att få till randomiserade studier, som att slumpa och göra jämförelser mellan ett 40-tal lärare. Eftersom det är svårt att rättvist mäta innan och efter har vi inte helt tydliga resultat ännu, och kan därför inte vetenskapligt bevisa att metoden är bra. Men det kommer så småningom.

Forskarna gjorde en bedömningsmatris med olika element och tregradiga skalor. Men den blev väldigt teknisk och presenterades därför inte för lärarna. För att kunna använda matrisen behövdes samstämmiga bedömningar mellan flera forskare berättar Ola:
– Metoden fungerar bra genom att jämföra elevlösningar med kontrollgrupper som inte har fått undervisning enligt modellen. Arbetet fortsätter. Vi tittar på sådant som om variationen i resultaten är stor nog, och bedömningsmatrisen behöver vidareutvecklas. Vi uppgraderar arbetet och jobbar vidare.

Foto: Lena Granefelt, Scandinav bildbyrå

Porträttfoto: Johan Wingborg, Göteborgs universitet