Resonera sig fram till ett algebraiskt tänkande

I forskningsprojektet Förmågan att föra och följa algebraiska resonemang – utmaningar för undervisningen i grundskolan och gymnasiet, har projektgruppen undersökt vad det är i arbetsuppgifter och kommunikativa strategier i helklassdiskussioner som främjar elevers algebraiska tänkande. Projektet finansierades av Skolforskningsinstitutet och leddes av Inger Eriksson, professor i pedagogik vid Stockholms universitet.

Resonera och tänka algebraiskt

Algebra är ett område inom matematiken som handlar om att förstå strukturer och relationer. Det kan exempelvis handla om att identifiera generella strukturer i vanliga matematiska operationer. Elever som har en generell förståelse av likhetstecknet har lättare att lösa exempelvis ekvationer menar Inger Eriksson:
– Om eleverna utvecklar ett algebraiskt tänkande så innebär det att de förstår till exempel likhet som en matematisk idé. Att inte förstå idén bakom begreppet likhet kan vara ett hinder för det matematiska tänkandet. Det vi har jobbat med mest är hur lärare kan skapa uppgifter och situationer där eleverna behöver utforska exempelvis utsagor och uttryck. Hur kan elever i årskurs 1 utforska en utsaga som a = b + c utan att sätta in bestämda tal?

Att förstå matematiska principer

Undervisningen i matematik behöver utvecklas för att eleverna ska bli bättre rustade för framtida samhälleliga behov och förväntningar. Läroplanerna tar upp vikten av att eleverna lär sig begrepp och metoder, men de behöver också utveckla förmågan att föra och följa matematiska resonemang. För att det ska vara möjligt behöver eleverna diskutera matematik i klassrummet säger Inger:
– I svensk skola läggs stor vikt vid att de yngsta eleverna först lär sig de fyra räknesätten, ofta med en tom plats där svaret ska in – så kallade luckuppgifter. Tanken är att eleverna ska få en förståelse för ekvationer. Men arbetssättet kan göra att eleverna söker numeriska lösningar i stället för att resonera generellt och dra slutsatser om vad ekvationen representerar. Den stora fördelen med algebra är just möjligheten att generalisera och uttrycka matematiska principer. Vi ville ta reda på hur lärare kan underlätta elevernas lärande, närmare bestämt vilken form av arbetsuppgifter och vilka arbetssätt som främjar förmågan att föra algebraiska resonemang och utvecklar deras algebraiska tänkande.

Didaktiska principer för klassrumssituationen

Det är idag fortfarande vanligt att eleverna arbetar individuellt i böckerna, med att räkna ut resultaten på numeriska uppgifter. Inger berättar om arbetet i projektet: – Vi utgick från sociokulturella idéer om att elever behöver reflektera tillsammans. Därför valde vi helklassdiskussioner med gemensamma arbetsytor: tavlan eller ett stort bord att samlas kring. Elevernas tänkande materialiserades på tavlan, där modeller av olika slag granskades och justerades. Dessutom fick allt stå kvar, ingenting suddades, vilket möjliggjorde för eleverna att minnas tidigare resonemang. Både de korrekta och de felaktiga förslagen diskuterades under lärarens ledning tills gruppen som helhet var nöjd med resultatet. Under forskningslektionerna introducerades eleverna till en problemsituation där två eller tre fiktiva elevsvar skulle granskas. Läraren frågade eleverna hur dessa fiktiva elever kunde ha tänkt. Sedan gällde det att få eleverna att fortsätta diskutera. De viktigaste resultaten i forskningsprojektet handlar just om hur lärare kan göra för att få eleverna att resonera matematiskt, och hur lärarna kan materialisera deras resonemang. När eleverna får stöd i att kollektivt analysera och granska komplexa algebraiska utsagor eller uttryck och visa hur de tänker, blir det ett stöd för klassens gemensamma minne.

Elever som för och följer algebraiska resonemang

Projektgruppen ville ta reda på hur en undervisning som ger eleverna grundläggande förmåga att föra och följa resonemang om algebraiska uttryck kan ta form i svensk skola. Fokus var på lektionsdesignen och hur klassrumskommunikationen behövde utformas, hur läraren bemötte frågor och förslag och analyserade innehållet tillsammans med eleverna. Gymnasieeleverna som deltog gick bygg- och anläggningsprogrammet eller samhällsvetenskapsprogrammet, berättar Inger: – I all undervisning utgick vi från lärarnas erfarenheter och kännedom om eleverna. Genom intervjuer i förskoleklass och årskurserna 1, 4, 6 och 9 gjorde vi en kartläggning inför utformningen av forskningslektionerna. Intervjuerna analyserades med hjälp av fenomenografi. Det innebär att vi analyserade elevernas uppfattningar av utsagor och uttryck och identifierade vad som var möjliga kritiska aspekter, det vill säga vad eleverna behövde urskilja för att kunna föra och följa algebraiska resonemang utifrån utsagor som exempelvis 5 x = y.

En undervisningsutvecklande studie

Forskningsprojektet genomfördes som en learning study. Projektgruppen planerade, genomförde och reviderade en forskningslektion per årskurs 1, 5 och 7 i en iterativ process med minst tre cykler. Elevgruppen var dock inte densamma hela tiden. Forskningslektionerna filmades och transkriberades, säger Inger:
–Lärarna som genomförde lektionerna var med och planerade dem, och de var även med i analysarbetet efteråt. Skolledningarna gav sitt samtycke, men var annars inte delaktiga i projektet.

Lektionsdesignen bryter mot den dominerande matematiktraditionen

Samarbetet i projektgruppen fungerade bra. Forskarna har tagit ett större ansvar för publiceringen av resultaten, men lärarna har varit inblandade hela vägen. Lärarna i årskurs 1 och 5 var med på en konferens i Kina, och lärarna i årskurs 7 och år 1 i gymnasieskolan deltog i en konferens i Amsterdam. Resultaten i form av uppgifterna och kommunikationsmönstret i projektet bryter mot den dominerande matematiktraditionen, vilket gör det extra viktigt att arbeta med att sprida dem menar Inger: – Vi har skrivit texter i tidskrifter och presenterat resultaten på konferenser där lärare är med. Dessutom planerar vi en bok för nyfikna lärare, och hoppas att resultaten når lärarutbildningen. Projektet har även lett till fortsatt forskning; deltagarna i det här projektet är med i flera olika forskningsprojekt som har anknytning till varandra på olika sätt.

Foto: Scandinav Bildbyrå, Ulrika Kestere
Porträttfoto: Marcus Rostamkhani